(满分：100分考试时间：150分钟)
专业基础知识
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分,共30分)
1. 1978年，我国国内生产总值是3 645亿元，2007年升至249 530亿元。将249 530亿元用科学计数表示为()。
A.24.953×1013元B.24.953×1012元
C.2.4953×1013元D.2.4953×1014元
2.右图中圆与圆之间不同的位置关系有()。
A.2种B.3种
C.4种D.5种
3.王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间(单位：小时)分别是：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5。则这10个数据的平均数和众数分别是()。
A.2.4，2.5B.2.4，2
C.2.5，2.5D.2.5，2
4.若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，如图所示，则这个圆锥的底面半径是()。
A.1.5B.2
C.3D.6
5.已知y1=ax2,y2=ax;且y1、y2有两个交点，在同一直角坐标系中，两个函数的图像有可能是()。
6.已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是()。
A.4B.5
C.6D.7
7.设a、b是满足ab<0的实数，那么()。
A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<|a|-|b|D.|a-b|<|a|+|b|
8.棱长都为2的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()。
A.3πB.4π
C.33πD.6π
9.给定四条曲线：①x2+y2=52，②x29+y24=1，③x2+y24=1，④x24+y2=1，其中与直线x+y-5=0仅有一个交点的曲线是()。
A.①②③B.②③④
C.①②④D.①③④
10.定义函数y=f(x),x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f(x)在D上的均值为C。已知f(x)=lgx,x∈[10,100]，则函数f(x)=lgx在x∈[10,100]上的均值为()。
A.32B.34
C.710D.10
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，则∠DBC。
第11题图
第12题图
12.一个几何体的三视图如图所示(其中标注的a、b、c为相应的边长)，则这个几何体的体积是。
13.不等式1-2xx+1>0的解集是。
14.已知0 15.不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是。
三、解答题(本大题共4小题，共35分)
16. (本小题满分5分)
如图是一个几何体的三视图。
(1)写出这个几何体的名称;
(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积;
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程。
17.(本小题满分12分)
研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x(吨)时，所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y=110x2+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲、p乙(万元)均与x满足一次函数关系。(注：年利润=年销售额-全部费用)
(1)成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p甲=-120x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w甲(万元)与x之间的函数关系式;
(2)成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙=-110x+n(n为常数)，且在乙地当年的最大年利润为35万元。试确定n的值;
(3)受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据(1)、(2)中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是-b2a，4ac-b24a。
18.(本小题满分8分)
甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数字游戏。游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下，洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数。若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜。你认为这个游戏公平吗?请运用概率知识说明理由。
19.(本小题满分10分)
小明想利用太阳光测量楼高。他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同。此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m(点A、E、C在同一直线上)。
已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m)。
【参考答案】
一、选择题
1.C 【解析】249 530亿元=2.4953×1013元。
2.A 【解析】圆与圆的位置关系有四种：相交、相切、外离、内含。本题圆的位置关系为相交与相切。
3.A 【解析】出现次数最多的是众数：2.5，平均数可直接计算。
4.C 【解析】120°πR2180°=2πR∴R=3。
5.C 【解析】根据一次函数和二次函数图像性质逐一排除，可选C。
6.B 【解析】等差数列的前n项和Sn=d2n2+(a1-d2)n可表示为过原点的抛物线，又本题中a1=-9<0,S3=S7,可表示如图，由图可知，n=3+72=5是抛物线的对称轴，所以n=5时,Sn最小，故选B。
7.B 【解析】∵A、B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误项C、D。又由ab<0，可令a=1、b=-1，代入知B为真，故选B。
8.A 【解析】借助立体几何的两个熟知的结论：(1)一个正方体可以内接一个正四面体;(2)若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径R=32，从而求出球的表面积为3π，故选A。
9.D 【解析】分析选择项可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线x29+y24=1是相交的，因为直线上的点(5,0)在椭圆内，对照选项故选D。
10.A 【解析】f(x1)+f(x2)2=lg(x1x2)2=C，从而对任意的x1∈[10,100]，存在唯一的x2∈[10,100]，使得x1、x2为常数。充分利用题中给出的常数10、100。令x1x2=1 000,当x1∈[10,100]时，x2=1 000x1∈[10,100]，由此得C=lg(x1x2)2=32。故选A。
二、填空题
11.35°
【解析】略。
12.abc
【解析】略。
13.x-1 【解析】不等式1-2xx+1>0等价于(1-2x)(x+1)>0，也就是x-12(x+1)<0，所以-1
14.m 【解析】∵loga(1+t)+loga(1-t)=loga(1-t2)，不论a的值如何，loga(1-t2)与loga(1-t)同号，所以m
15.-1≤a≤3
【解析】题设条件等价于点(0，1)在圆内或圆上，或等价于点(0，1)到圆(x-a)2+y2=2a+4的圆心的距离不超过半径，∴-1≤a≤3。
三、解答题
16.解：(1)圆锥;
(2)表面积：S=S扇形+S圆=πrl+πr2=12π+4π=16π(平方厘米);
(3)如图将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程。
由条件得，∠BAB′=120°，C为弧BB′中点，所以BD=33。
17.解：(1)甲地当年的年销售额为-120x2+14x万元，
w甲=-320x2+9x-90。
(2)在乙地生产并销售时，
年利润w乙=-110x2+nx-110x2+5x+90=-15x2+(n-5)x-90。
由4×-15×(-90)-(n-5)24×-15=35，解得n=15或-5。
经检验，n=-5不合题意，舍去，∴n=15。
(3)在乙地生产并销售时，年利润w乙=-15x2+10x-90，
将x=18代入上式，得w乙=25.2(万元);
将x=18代入w甲=-320x2+9x-90，得w甲=23.4(万元)。
∵w乙>w甲，∴应选乙地。
18.解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：
第二次第一次
3456
333343536
443444546
553545556
663646566
表中共有16种可能结果，小于45的两位数共有6种。
∴P(甲获胜)=616=38，P(乙获胜)=1016=58。
∵38≠58，
∴这个游戏不公平。
19.
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH=AG=CD=1.2
DH=CE=0.8，DG=CA=30
∵EF∥AB
∴FHBG=DHDG
由题意，知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5
∴0.5BG=0.830，解之，得BG=18.75
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0
∴楼高AB约为20.0m。